Kamis, 27 September 2012

alfha , beta, gamma,

Inti Radioaktif : Unsur inti atom yg mempunyai sifat memancarkan salah satu partikel alfa, beta atau gamma.
Sejarah :
1896 Becquerel : Senyawa uranium yg memancarkan sinar tampak yg dpt menembus bahan yg tdk tembus cahaya serta mempengaruhi emulsi fotografi.
1896 Marie Curie : Bahwa inti uranium memancarkan suatu aprtikel.

SINAR ALFA
Partikel yg terdiri dr 4 buah nukleon i.e 2 proton dan 2 netron è Inti Helium

Memilki sifat :
1. Daya tembus di udara 4 cm,tdk tembus kertas.
2. Partikel alfa tidak mengalami pembelokan karena massa partikel alfa lebih besar dr massa elektron.
3. Hubungan antara energi dan jarak tembus :
E = 2,12 x R2/3

SINAR BETA
Mrpkn partikel yg dilepas atau terbentuk pd suatu nekleon inti,dpt berupa elektron bermuatan negatif (negatron),elektron bermuatan positif (positron) atau elektron cupture (penangkapan elektron).
Memiliki sifat :
1. Daya tembus 100 X partikel alfa.
2. Menyebabkan atom yg dilewati terionisasi.
3. Energi 0,01 MeV – 3 MeV,hub energi dan jarak tembus :
R = 0,543 E – 0,160

SINAR GAMMA
Merupakan hasil disintegrasi inti atom yg memancarkan sinar alfa dan terbentuk inti baru dgn tingkat energi agak tinggi,kemudian transisi ke tingkat energi yg lbh rendah dgn memancar sinar gamma

dengan menggunakan sinar alpha(α) menjadi,
didapatkan :
Jika menembus lapisan materi setebal x maka intensitas akan berkurang :
Waktu paruh :

NETRON
Pengertian : Mrpkn partikel tdk bermuatan listrik yg dihslkan dlm reaktor nuklir, tidak menimbulkan ionisasi,namun menghasilkan energi.
- Pengurangan energi netron melalui interaksi dgn inti atom :
1. Peristiwa hamburan (scattering).
2. Reaksi inti (masuknya netron kedlm inti sehingga terbentuk sebuah inti yg berisotop.
3. Reaksi fisi ( netron diserap inti,sehingga terbentuk 2 inti menengah dan beberapa netron serta energi )
4. Peluruhan Inti (inti yg terbentuk akan melepaskan salah satu partikel alfa, proton, deutron atau triton).
Untuk pengobatan tumor dngan cairan Boron yg ditembak dgn netron.

PROTON
Pengertian : Inti suatu zat yang bermuatan positif. Dalam radioterapi untuk menghancurkan kelenjar hipofisis.

sumber.

alfa, beta , gamma

SINAR ALFA
Partikel yg terdiri dr 4 buah nukleon i.e 2 proton dan 2 netron è Inti Helium

Memilki sifat :
1. Daya tembus di udara 4 cm,tdk tembus kertas.
2. Partikel alfa tidak mengalami pembelokan karena massa partikel alfa lebih besar dr massa elektron.
3. Hubungan antara energi dan jarak tembus :
E = 2,12 x R2/3

SINAR BETA
Mrpkn partikel yg dilepas atau terbentuk pd suatu nekleon inti,dpt berupa elektron bermuatan negatif (negatron),elektron bermuatan positif (positron) atau elektron cupture (penangkapan elektron).
Memiliki sifat :
1. Daya tembus 100 X partikel alfa.
2. Menyebabkan atom yg dilewati terionisasi.
3. Energi 0,01 MeV – 3 MeV,hub energi dan jarak tembus :
R = 0,543 E – 0,160
Secara umum terdapat tiga macam konfigurasi rangkaian transistor, yaitu konfigurasi basis bersama (common-base), konfigurasi emitor bersama (common-emitter), dan konfigurasi kolektor bersama (common-collector). Istilah bersama dalam masing-masing konfigurasi menunjuk pada terminal yang dipakai bersama untuk input (masukan) dan output (keluaran). Gambar dibawah menunjukkan tiga macam konfigurasi tersebut.

konfigurasi transistor,comon base,common emitor,common colector,basis bersama,emitor bersama,kolektor bersama,konfigurasi dasar transistor,rumus konfigurasi transistor,teori konfigurasi transistor,arus kolektor,arus basis,arus emitor,arus maksimal transistor,arus bocor transistor,rangkaian comon base,rangkaian common emitor,rangkaian common colector,rangkaian konfigurasi transistor

Pada konfigurasi basis bersama (common base = CB) sinyal input dimasukkan ke emitor dan sinyal output diambil pada kolektor dengan basis sebagai ground-nya. Faktor penguatan arus pada basis bersama disebut dengan ALPHA (α). αdc (alpha dc) adalah perbandingan arus IC dengan arus IE pada titik kerja. Sedangkan αac (alpha ac) atau sering juga disebut alpha (α) saja merupakan perbandingan perubahan IC dengan IE pada tegangan VCB tetap berlaku rumusan:

$\alpha =\frac{\Delta IC}{\Delta IE}$

Gambar Aliran Arus Dalam Transistor

Dari diagram aliran arus pada gambar diatas dapat diketahui bahwa harga α adalah kurang dari satu, karena arus IE sebagian dilewatkan menjadi IB dan lainnya menuju kolektor menjadi IC. Harga tipikal dari α adalah 0,90 hingga 0,998. Umumnya harga α untuk setiap transistor dicantumkan dalam datasheet. Dengan memasukan arus bocor ICBO kedalam perhitungan, maka besarnya arus IC menjadi:

$IC=\alpha IE+I_{CB0}$

Pada konfigurasi emitor bersama (common emitter = CE) sinyal input diumpankan pada basis dan output diperoleh dari kolektor dengan emitor sebagai groundnya. Faktor penguatan arus pada emitor bersama disebut dengan BETA (β). Seperti halnya pada α, istilah β juga terdapat βdc (beta dc) maupun βac (beta ac). Definisi βac(atau β saja) dengan VCE konstan adalah:

$\beta =\frac{\Delta IC}{\Delta IB}$

Istilah β sering dikenal juga dengan hfe yang berasal dari parameter hibrid untuk faktor penguatan arus pada emitor bersama. Data untuk harga hfe maupun β ini lebih banyak dijumpai dalam berbagai datasheet dibanding dengan α. Umumnya transistor mempunyai harga β dari 50 hingga lebih dari 600 tergantung dari jenis transistornya.
Dalam perencanaan rangkaian transitor perlu diperhatikan bahwa harga β dipengaruhi oleh arus kolektor. Demikian pula variasi harga β juga terjadi pada pembuatan di pabrik. Untuk dua tipe dan jenis transistor yang sama serta dibuat dalam satu pabrik pada waktu yang sama, belum tentu mempunyai β yang sama. Hubungan antara α dan β dapat dikembangkan melalui beberapa persamaan berikut:

$\beta =\frac{IC}{IB}$

sedangkan

$\alpha =\frac{IC}{IE}$

Sehingga

$IE=IC+IB$

dan diperoleh persamaan α & β adalah :

$\alpha =\frac{\beta}{\beta +1}$

$\beta =\frac{\alpha }{1-\alpha }$

Dengan memasukan arus bocor ICBO kedalam perhitungan, maka besarnya arus IC dalam kaitannya dengan α. Sedangkan arus IC dalam hubungannya dengan β dapat dijelaskan sebagai berikut.

$IC=\beta IB+(\beta +1)I_{CB0}$

Dalam persamaan di atas terdapat arus bocor sebesar (β + 1)ICBO atau sering disebut dengan istilah ICEO . Arus bocor ICEO ini adalah arus kolektor ke emitor dengan basis terbuka. Arus bocor ICBO dan ICEO dapat dilukiskan seperti pada gambar dibawah.

sumber,
sumber.

ALAM SADAR & BAWAH SADAR

MENGGALI POTENSI DIRI SEJATI

Telah lama diteliti bahwa selama hidupnya, manusia hanya menggunakan kurang dari 10% potensi diri yang tersembunyi di dalam otak. Bahkan sebagian besar manusia menggunakannya di bawah bilangan 5%. Lalu kemana yang 90% ? Jawabannya adalah potensi diri tersebut menunggu untuk digali. Dua dekade terakhir, penelitian tentang potensi diri manusia mengalami peningkatan yang signifikan. Semakin banyak metode-metode up to date dengan hasil penelitian yang mengungkap potensi diri dengan cara pengembangan potensi otak manusia. Bagaimanakah hubungan antara potensi diri atau potensi otak ini dengan kehidupan anda ? Pada realitasnya keduanya mempunyai hubungan yang erat sekali. Hal ini berarti, kemampuan anda untuk mengoptimalkan daya otak anda akan sangat membantu anda untuk meraih target kesuksesan anda.

JEMPUTLAH ANUGERAH TUHAN DENGAN POTENSI DIRI

Potensi diri manusia sungguh luar biasa dahsyatnya. Lihatlah hasil karya potensi diri manusia di muka bumi ini. Meliputi berbagai bidang disiplin ilmu mengeksplorasi luasnya jagad besar, teori-teori fisika dan kimia yang membuat manusia mampu pergi menjelajah ke bulan, mengeksplorasi luasnya angkasa luar, meluncurkan satelit dengan kemampuan membaca setiap detil peta bumi secara lengkap dan jelas, menciptakan pesawat terbang super canggih, pesawat ulang alik nan menghebohkan, menciptakan kapal selam super power, menemukan jejaring internet yang membuat dunia ini serasa mengkerut seolah-olah bagaikan dalam genggaman tangan. Begitu juga eksplorasi ke dalam jagad kecil yang teramat rumit dan njelimet, temuan-temuan dalam bidang ilmu biologi, kimia mikro dan teknologi medis yang membuat manusia mampu menciptakan organ-organ tubuh imitasi yang dapat mengganti fungsi organ ciptaan Tuhan yang telah rusak. Ilmu ekonomi yang mampu membuat imperium bisnis sangat besar dan kuat, digabung dengan ilmu sosial dan politik mampu menciptakan kemakmuran dan kesejahteraan masyarakat di berbagai negara belahan bumi Eropa. Semua itu merupakan buah karya potensi diri manusia. Dahulu, sesuatu yang tampaknya sebagai kodrat yang tak bisa lagi dirubah (diwiradat), kini manusia semakin membuktikan diri mampu membuat temuan-temuan dan hasil karya yang menakjubkan. Meciptakan lensa mata imitasi menggantikan lensa asli yang rusak terkena katarak, menganti jantung manusia dengan binatang, bahkan dengan alat pemacu jantung seseorang mampu bertahan hidup puluhan tahun.

Bukankah tugas manusia di bumi ini untuk membaca, memahami, lalu menghayati bahasa dan ilmu Tuhan yang Mahaluas tiada batasnya itu. Bukankah setiap ada kesulitan, manusia selalu tertantang berikhtiar menemukan jalan keluarnya. Maka tak heran bila dalam teknologi elektronika-metafisika, manusia telah menemukan alat penyadap keberadaan roh halus dan eksistensi makhluk gaib yang kasat mata.

Perkembangan potensi manusia tentunya tidak akan berkembang pesat, apabila mental spiritual, mental pikiran masih terbelenggu oleh sistem nilai di alam bawah sadar. Agama pun sesungguhnya bukan untuk mengungkung mental, mengurung kesadaran dan kebebasan berfikir, serta membelenggu kemampuan jelajah spiritual manusia. Sebaliknya, sungguh ideal di saat mana agama dipahami sebagai guidance (pemandu jalan) agar potensi dan prestasi manusia mampu mengembangkan potensi berfikirnya secara maksimal, dengan orientasi yang terarah, bermanfaat sebagai rabbul alamin, berkah bagi alam semesta dan seluruh isinya. Peran semua agama bukan untuk membatasi perkembangan potensi diri, kreatifitas dan inovasi manusia. Melainkan menjaganya agar jangan sampai inovasi manusia disalahgunakan sehingga membuat kerusakan-kehancuran di muka bumi. Sebagai contoh, bila Anda percaya bahwa Tuhan itu ya rabbul alamin maka dinamit bukan untuk membunuh manusia, melainkan untuk menciptakan energi yang dimanfaatkan bagi kesejahteraan umat, serta menjaga dan melestarikan anugrah Tuhan berupa lingkungan alam.

Dapat dibayangkan apabila manusia mampu mendayagunakan potensi diri yang lebih besar lagi, hingga mencapai 50 % nya saja. Sebab biar seberapapun kemajuan dan kedahsyatan potensi manusia seperti contoh di atas, kenyataannya bagian yang 90% potensi masih terpendam di dalam diri dan dibiarkan sia-sia begitu saja. Maka tugas kita adalah bisa membuka, menggali, mengenali, mengembangkan, lalu memanfaatkan potensi diri lebih baik daripada hari ini. Bukan untuk mengejar kepentingan pribadi, melainkan untuk menggapai kebaikan yang lebih utama, yakni menghayati makna yaa rabbul alamin, dengan memanfaatkan hidup kita agar berguna bagi sesama, seluruh makhluk, dan lingkungan alam. Apabila prinsip ini Anda terapkan dalam keluarga, niscaya keluarga anda akan harmonis, tenteram, selamat, sejahtera, dan selalu kecukupan rejeki. Kalis ing rubeda, nir ing sambekala. Terlindung dari segala kefakiran.

Demikian pula apabila hal serupa terjadi di dalam lingkup wilayah yang lebih luas : kelurahan, kecamatan, kabupaten, propinsi, dan negara, maka ketidak-tentraman, kekisruhan, perselisihan, percekcokan, konflik di antara warga bangsa, antara pemimpin dengan rakyatnya, antar pemimpin dengan pemimpin lainnya, hampir pasti selalu berakibat tertutupnya pintu rejeki dan pintu-pintu anugrah yang disiapkan Tuhan. Nasib bukan tergantung Tuhan, tetapi tergantung pada diri kita sendiri. Tuhan telah meletakkan dan menyiapkan rejeki serta anugrah “di suatu tempat” dan tugas kita adalah menjemputnya.

Untuk mengembangkan potensi dalam diri, terdapat 3 unsur utama di dalam kepribadian manusia yang harus dipahami. Ketiga unsur tersebut sangat menentukan potensi diri dan menjadi faktor penentu kesuksesan seseorang :

Sistem Kepercayaan : Merupakan faktor yang menentukan pola pikir (mind set). Sistem kepercayaan mencakup seperangkat nilai, sesuatu yang dianggap berharga, segala sesuatu yang diyakini, dan segala sesuatu yang dianggap benar.
Pola Pikir (mind set) atau Båwå : disebut pula sistem berfikir merupakan faktor penentu sistem perilaku atau kepribadian seseorang (behavior). Menentukan bagaimana seseorang mengambil atau menentukan suatu tindakan. Pola pikir akan menentukan respon terhadap segala sesuatu yang terjadi di dalam diri (inner world) maupun lingkungan sosial dan lingkungan alamnya.
Sistem perilaku / Kepribadian (behavior) atau Solah : adalah faktor yang menentukan tata cara berinteraksi atau penentu perbuatan terhadap dunia luar, lingkungannya, atau segala sesuatu peristiwa di dalam diri dan lingkungan sosialnya.

Sistem kepercayaan dan pola pikir ditampung dalam memori alam pikiran bawah sadar. Alam bawah sadar bagaikan stockpile atau database yang menyimpan banyak potensi diri. Alam pikiran bawah sadar dapat muncul dalam kondisi darurat dan bekerja secara spontan. Untuk itu perlu diketahui apakah alam bawah sadar itu?

ALAM BAWAH SADAR

Alam bawah sadar bukan berarti tiadanya kesadaran. Sebaliknya, justru di situlah kesadaran level tinggi (high consciousness) berada. Hanya saja kenapa disebut alam pikiran bawah sadar karena yang menilai adalah pikiran sadar kita yang belum memahami kesadaran pikiran bawah sadar kita sendiri. Apabila anda telah sukses mengoptimalkan alam pikiran bawah sadar, maka alam pikiran bawah sadar sudah tidak ada lagi, karena alam pikiran sadar anda telah menyadari apa yang menjadi kehendak alam pikiran bawah sadar. Berdasarkan pengukuran melalui alat yang dinamakan Electro-encepalograph dan perangkat eletronis pengukur kinerja otak lainnya, pada dasarnya otak memiliki 4 Fase Gelombang yaitu Bheta, Alpha, Theta, dan Delta.

Bheta

Fase gelombang otak pada frekuensi/cyclon 12 – 40 Hz/Second. Di saat mana anda sedang sangat aktif seperti mengobrol, mengerjakan sesuatu, gugup/gelisah atau keadaan aktif lainnya. Beta sangat diperlukan jika kita harus memikirkan beberapa hal sekaligus, tapi tidak jika kita ingin menyerap informasi secara cepat.

Alpha

Fase gelombang otak pada frekuensi/cyclon 12-8 Hz/Second. Fase otak penuh kreatifitas, di mana otak dalam keadaan yang lebih rileks. Fase ini sangat baik untuk belajar, menyerap informasi, melakukan terapi, mempercepat proses penyembuhan, meningkatkan kekebalan tubuh, juga mengurangi stress mental-emosional dan fisik. Sering disebut sebagai keadaan Meditasi Dasar. Fase alpha merupakan jembatan antara kesadaran bheta dengan theta. Pada saat semedi/meditasi Anda dapat menangkap sinyal-sinyal akurat yang dipancarkan oleh kesadaran theta.

Theta

Fase gelombang otak pada frekuensi/cyclon 8-4 Hz/Second. Fase gelombang otak yang lebih dalam, yaitu saat anda meditasi atau trance. Fase ini sangat bagus untuk proses auto-sugesti/auto-hypnosis. Pada fase inilah mimpi terjadi, sehingga dengan teknolgi yang mampu mengontrol fase ini, anda dapat memperoleh mimpi “Extra-Sensory Perception” atau biasa disebut kewaskitaan/wangsit. Melalui fase ini anda dapat menemukan jawaban yang tepat atas suatu permasalahan yang rumit dan berat. Dapat mengetahui apa yang sesungguhnya terjadi, tanpa harus susah payah melakukan penelitian dan pengumpulan data terlebih dulu.

Delta

Fase gelombang otak pada frekuensi/cyclon 4-0,1Hz/Second. Delta merupakan fase gelombang otak yang terakhir dan paling dalam. Keadaan ini diperoleh saat anda tidur nyenyak atau keadaan koma. Dengan mampu mengontrol fase ini, anda dapat memperoleh kondisi tidur yang nyenyak dan berkualitas. Dengan teknik tertentu, fase ini dapat menghubungkan theta Anda dengan Energi Kesadaran Astral yang diberikan Tuhan. Melalui fase ini pulalah anda dapat mewujudkan energi pikiran menjadi materi. Bahkan dapat weruh sadurunge winarah.

DAPATKAH PIKIRAN SADAR MENYADARI ALAM BAWAH SADAR ?

Gelombang otak pada frekuensi bheta dan alpha berada di level alam pikiran sadar. sedangkan frekuensi theta dan delta disebut sebagai alam pikiran bawah sadar. Sekali lagi, bukan berarti tidak adanya kesadaran otak/pikiran. Melainkan disebut alam bawah sadar, karena kesadaran delta dan theta belum mampu dipahami oleh alpha dan beta (pikiran sadar). Fungsi alam bawah sadar merupakan stockphile atau memory card yang menampung dan menyimpan “bahan-bahan” jadi hasil olahan pikiran sadar yang sudah terseleksi oleh RAS (reticular activating system). Sedangkan pikiran sadar berfungsi sebagai “mesin produksi” bahan “olahan jadi” tersebut. Tugas pikiran sadar mengolah pemaknaan, lalu disaring mana yang dianggap memiliki nilai/value untuk dimasukkan ke dalam alam bawah sadar. Sementara itu cara kerja RAS adalah sebagai berikut :

Data-data (stimulan) diolah oleh rasio/pikiran sadar, lalu masuk ke pikiran bawah sadar melalui proses penyaringan diri, dinamakan RAS (reticular activating system).
RAS tidak hanya menerima bahan jadi dari pikiran sadar. Bahan jadi yang telah diberi nilai pikiran sadar sebagai bahan jadi negatif atau bahan jadi positif.
RAS bekerja otomatis tergantung pada kondisi gelombang otak, pemikiran dan emosi. Fungsi RAS adalah menginstalasi dan uninstalasi program ke atau dari dalam alam bawah sadar.
Kejadian /peristiwa bersifat netral bebas nilai. Sementara itu yang memberi nilai adalah pikiran sadar.

Persoalannya, bagaimana kita memilih program yang bermanfaat, bagaimana menentukan program positif. Positif bernilai universal dan positif bernilai individual. Program positif individual akan dipengaruhi oleh stimulus yang berasal dari luar diri. Sementara itu, program positif universal bersumber dari rahsa sejati yang menciptakan stimulan dalam otak sebelah kanan (spiritual spot). Misalnya nilai universal hukum sebab akibat yang memandang Puncak dari penyebab (penyebab sejati) dari seluruh kejadian di alam semesta ini disebut sebagai Tuhan (God) atau Causa Prima. Sesuatu yang ada (being) namun keberadaanya (eksistensi) tidak disebabkan oleh apapun juga.

Pernahkan anda merasa sudah tahu lebih dulu apa yang menjadi jawaban atas suatu kejadian sebelum rasio/logika anda melakukan analisa ? Jika pernah, berarti alam bawah sadar anda sedang bekerja. Bekerjanya alam bawah sadar tentu saja terpisah dari bekerjanya alam/pikiran sadar. Sehingga terkdang anda heran sendiri, manakala menyadari keputusan spontan anda ternyata benar dan tepat padahal tanpa melibatkan analisa rasio anda lebih dulu. Hal itu terjadi karena alam bawah sadar anda merupakan bentuk kesadaran tinggi yang tidak disadari oleh rasio/alam sadar anda. Kecepatan dan kemampuan analisanya jutaan kali lebih cepat dibandingkan dengan kemampuan rasio/logika alam pikiran sadar anda sendiri. Alam bawah sadar sudah memuat data-data yang telah diolah menjadi bahan jadi. Sewaktu-waktu diperlukan, dalam kondisi rilek, konsentrasi, hening. Kesadaran alam pikiran bawah sadar, ditandai dengan ide-ide yang inspiratif. Bila kita terbiasa mengolah keseimbangan antara alam sadar dan bawah sadar, kita akan mampu berfikir jernih, cepat, tepat, akurat walau dalam keadaan tertekan dan genting.

Pertanyaannya kemudian, apa saja faktor yang mempengaruhi sistem kepercayaan ? Tentu saja sistem kepercayaan tidaklah mandiri berdiri sendiri, atau tiba-tiba ada. Berikut ini beberapa faktor yang sangat mempengaruhi sistem kepercayaan seseorang :

Lingkungan terdekat misalnya : keluarga, orang-tua, saudara kandung, teman bermain, kelompok sosial, golongan, aliran/mazab. Misalnya kita memeluk salah satu agama bukan karena pilihan, namun karena faktor-faktor kebetulan. Misalnya mengikuti agama orang tua, disebut juga sebagai agama warisan. Lalu dikembangkan sebagai keyakinan mutlak.
Lingkungan sosial-budaya. Meliputi kebudayaan masyarakat, sistem kepercayaan, falsafah/pandangan hidup, sub-kultur atau pola-pola perilaku masyarakat, lingkungan sosial-ekonomi misalnya agraris, maritim, atau industri.
Generalized other. Atau figur yang dijadikan tulada/suri tauladan.
Pengalaman spirit & tingkat pemahaman spiritual masing-masing individu.

Ada dua pertanyaan, barangkali anda dapat menjawabnya :

Lantas dari mana alam bawah sadar anda memiliki guru yang paling efektif menjadi pembimbing ?
Apa bedanya alam bawah sadar milik seorang yang mendayagunakan “guru sejati”, dengan orang yang hanya mengandalkan rasio saja ?

Manusia Linuwih

Manusia linuwih tidak lantas berarti orang yang sakti mandraguna. Linuwih adalah memiliki kelebihan dibanding rata-rata orang. Kelebihan itu terletak pada prinsip keseimbangan. Sebagaimana keseimbangan yang ada di dalam mikrokosmos (jagad kecil atau diri pribadi) dan keseimbangan yang ada dalam makrokosmos (jagad besar atau alam semesta). Pada galibnya, hubungan keduanya juga saling cross cuting harmony atau saling silang-menyilang dalam hubungan yang seimbang. Yakni, manusia selaras, sinergis, dan harmonis dengan alam semesta (manjing ajur ajer dengan pusaka hasta brata) atau kesimbangan mikro-makro kosmos. Di sini pembahasan saya tekankan pada adanya keseimbang di dalam mikro-kosmos terutama pada keseimbangan gelombang otak. Keseimbangan antara gelombang beta, alpha, tetha, dan delta. Untuk menyelarasakan 4 gelombang tidaklah mudah, karena banyaknya kendala yang harus dilenyapkan. Oleh sebab itu untuk menyeimbangkan gelombang otak, perlu proses pelatihan dengan menerapkan beberapa teknis melatih diri.

Manfaat Stimulasi Penyeimbangan Gelombang Otak

Memprogram ulang pola pikiran dan perasaan anda menjadi mudah meraih sukses.
Menjadi lebih produktif dan kreatif
Menjadi lebih relaks dan bebas stress
Meraih sukses lebih cepat di bidang apapun
Mearaih kredit poin lebih tinggi pada prestasi kerja anda
Memiliki daya tangkap dan daya ingat lebih baik, cepat, kuat dan permanen
Memiliki kepercayaan diri lebih baik
Memiliki kemampuan komunitas bisnis dan sosial yg lebih baik
Mampu memecahkan berbagai masalah secara kreatif
Menghilangkan berbagai macam kebiasaan dan tabiat buruk
Emosi dan mood lebih stabil
Meningkatkan kemampuan otak
Meraih hasil-hasil tersebut (perubahan diri) dalam waktu lebih cepat dan singkat.

www.sabdalangit.com

sumber.

Rabu, 26 September 2012

Persamaan Kuadrat, Fungsi Kuadrat dan Pertidaksamaan

ersamaan Kuadrat, Fungsi Kuadrat

dan Pertidaksamaan

A. Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum:

ax² + bx + c = 0 , a ¹ 0 a, b dan c adalah bilangan real.

1. Menyelesaikan Persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu dengan:

a) memfaktorkan,

b) melengkapkan kuadrat sempurna,

c) menggunakan rumus.

a. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan

ax² + bx + c = 0 dapat dinyatakan menjadi a (x – x₁) (x – x₂) = 0.

Nilai x₁ dan x₂ disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat.

Contoh 1 :

Selesaikan x² – 4 x + 3 = 0

Jawab: x² – 4 x + 3 = 0

(x – 3) (x – 1) = 0

x – 3 = 0 atau x – 1 = 0

x = 3 atau x = 1

Jadi, penyelesaian dari x² – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.

Contoh 2 :

Tentukan himpunan penyelesaian dari (x – 2)² = x – 2.

Jawab: (x – 2)² = x – 2

x² – 4 x + 4 = x – 2

x² – 5 x + 6 = 0

(x – 3) (x – 2) = 0

x – 3 = 0 atau x – 2 = 0

x = 3 atau x = 2

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {3 , 2}.

Contoh 3 :

Tentukan penyelesaian dari 2 x² + 7 x + 6 = 0.

Jawab: 2 x² + 7 x + 6 = 0

2 x² + 4 x + 3 x + 6 = 0

2 x (x + 2) + 3 (x + 2) = 0

(x + 2) (2 x + 3) = 0

x +2 = 0 atau 2 x + 3 = 0

x = –2 atau x = – 1

Jadi, penyelesaiannya adalah –2 dan –1.

b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna

Persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi (x + p)² = q.

Contoh 1:

Tentukan himpunan penyelesaian dari x² – 6 x + 5 = 0.

Jawab: x² – 6 x + 5 = 0

x² – 6 x + 9 – 4 = 0

x² – 6 x + 9 = 4

(x – 3)² = 4

x – 3 = 2 atau x – 3 = –2

x = 5 atau x = 1

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.

Contoh 2:

Tentukan penyelesaian dari 2 x² – 8 x + 7 = 0.

Jawab: 2 x² – 8 x + 7 = 0

2 x² – 8 x + 8 – 1 = 0

2 x² – 8 x + 8 = 1

2 (x² – 4 x + 4) = 1

2 (x – 2)² = 1

(x – 2)² = ½

x – 2 = atau x – 2 = –

x = 2 + Ö2 atau x = 2 –Ö2

Jadi, penyelesaiannya adalah 2 + Ö2 dan 2 – Ö2.

c. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus

Rumus penyelesaian persamaan kuadrat a x² + b x + c = 0 adalah

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari x² + 7x – 30 = 0.

Jawab: x² + 7x – 30 = 0

a = 1 , b = 7 , c = – 30

x = 3 atau x = –10

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–10 , 3}.

Latihan 1

Tentukan penyelesaian persamaan kuadrat berikut ini:
Nyatakan persamaan-persamaan kuadrat berikut dalam bentuk umum, kemudian tentukanlah akar-akarnya!
Salah satu akar x² – mx + 12 = 0 adalah 3. Hitunglah nilai m dan akar yang lain!
Jika x = 1 memenuhi persamaan (a – 1)x² + (3a – 1)x = 3a, hitunglah a dan akar yang lain!
Untuk percetakan kartu nama, diperlukan kertas yang berbentuk persegi panjang dengan panjang dan lebar

x² – 3x + 2 = 0 f. –2x² + 8x – 9 = 0
3x² – 9x = 0 g. –6x² + 10xÖ3 – 9 = 0
6x² – 13x + 6 = 0 h. x² – 2xÖ3 – 1 = 0
5p² + 3p + 2 = 0 i. x² + x – 506 = 0
9x² – 3x + 25 = 0 j. x² – x + Ö2 = 2

2x – x(x + 3) = 0 c. (x – 3)² + 2(x – 3) – 3 = 0
(x – 3) (x + 2) – 2x² + 12 = 0 d.

berselisih 4 cm, sedangkan luasnya 45 cm². Hitunglah panjang dan lebar kartu nama itu!

2. Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat

Kita perhatikan kembali persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan akar-akarnya , b² – 4ac disebut diskriminan (D). Sehingga rumus penyelesaian persamaan kuadrat dapat ditulis sebagai .

Dari rumus tersebut tampak bahwa nilai x tergantung dari nilai D.

Apabila:

D > 0 maka ÖD merupakan bilangan real positif, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berlainan, .
D = 0 maka ÖD = 0, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real sama. .
D < 0 maka ÖD merupakan bilangan tidak real (imajiner), maka persamaan kuadrat tidak mempunyai

akar real atau persamaan kuadrat mempunyai akar tidak real.

Contoh :

Tanpa menyelesaikan persamaan lebih dahulu, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut:

x² + 5 x + 2 = 0
x² – 10 x + 25 = 0
3 x² – 4 x + 2 = 0

Jawab :

x² + 5 x + 2 = 0

a = 1 , b = 5 , c = 2

D = b² – 4ac = 5² – 4 . 1 . 2 = 25 – 8 = 17

Ternyata D > 0. Jadi, persamaan x² + 5 x + 2 = 0 mempunyai dua akar real berlainan.

x² – 10 x + 25 = 0

a = 1 , b = -10 , c = 25

D = b² – 4ac = (-10)² – 4 . 1 . 25 = 100 – 100 = 0

Karena D = 0, maka persamaan x² – 10 x + 25 = 0 mempunyai dua akar real sama.

3 x² – 4 x + 2 = 0

a = 3 , b = –4 , c = 2

D = b² – 4ac = (-4)² – 4 . 3 . 2 = 16 – 24 = – 8

Ternyata bahwa D < 0. Jadi, persamaan 3 x² – 4 x + 2 = 0 tidak mempunyai akar real.

Latihan 2

Tanpa menyelesaikan persamaannya, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut ini:

x² + 6x + 6 = 0
x² + 2x + 1 = 0
2x² + 5x + 5 = 0
–2x² – 2x – 1 = 0
6t² – 5t + 1 = 0
4c² – 4c + 3 = 0

Tentukan nilai p agar persamaan kuadrat berikut mempunyai akar yang sama (kembar)!

4x² + 8px + 1 = 0
4x² – 4px + (4p – 3) = 0
px² – 3px + (2p + 1) = 0

Persamaan x² – 4px – (p – 1) = 0 akar kembar, tentukan persamaan kuadrat tersebut!
Buktikan bahwa persamaan x² – px – (p + 1) = 0 mempunyai dua akar real berlainan!
Buktikan bahwa mempunyai dua akar real berlainan!

3. Jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 mempunyai akar x₁ dan x₂.

ax² + bx + c = 0

x² +x + = 0

Karena x₁ dan x₂ merupakan akar-akar persamaan kuadrat, maka :

Jadi, , .

Contoh:

Akar-akar x² – 3x + 4 = 0 adalah x₁ dan x₂. Dengan tanpa menyelesaikan persamaan tersebut, hitunglah nilai:

x₁ + x₂ d.
x₁.x₂ e. x₁³ + x₂³
x₁² + x₂²

Jawab: x² – 3 x + 4 = 0 ® a = 1 , b = –3 , c = 4

a. x₁ + x₂ = 3

b. x₁.x₂ = 4

c. x₁² + x₂² = x₁² + x₂² + 2 x₁.x₂ – 2 x₁.x₂

= (x₁ + x₂)² – 2 x₁ x₂ = 2 (-3)² – 2 . 4 = 1

e. (x₁ + x₂)³ = x₁³ + 3 x₁² x₂ + 3 x₁ x₂² + x₂³

= x₁³ + 3 x₁ x₂ (x₁ + x₂) + x₂³

x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ – 3 x₁ x₂ (x₁ + x₂)

= 3³ – 3 . 4 (3)

= 27 – 36 = –9

Latihan 3

Tanpa menyelesaikan persamaannya, tentukan jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan berikut:
Akar-akar persamaan x² + 2x + 5 = 0 adalah p dan q. Dengan tidak menyelesaikan persamaan itu, hitunglah:
Jumlah kuadrat akar-akar persamaan x² – (k + 2)x + 2k = 0 adalah 20. Hitunglah nilai k.
Jumlah kebalikan akar-akar persamaan ax² – (a + b)x + 2a = 0 adalah 2. Hitunglah nilai a.
Akar-akar persamaan x² + ax + b = 0 adalah x₁ dan x₂.

x² – 5x + 7 = 0 d. bx² + ax + c = 0
2x² – 7 = 0 e.
4x² – 3x = 0 f. (x – p)² + (x – q)² = p² + q²

p² + q²
(p + 2) (q + 2)
(p – 2q) (q – 2p)

Tentukan hubungan antara a dan b jika diketahui x_i² – x₁x₂ + x₂² = 5.

4. Menyusun Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat dapat disusun dengan:

v menggunakan perkalian faktor,

v menggunakan jumlah dan hasilkali akar-akar.

a. Menyusun persamaan kuadrat dengan menggunakan perkalian faktor

Pada bahasan terdahulu, persamaan kuadrat x² + p x + q = 0 dapat dinyatakan sebagai

(x – x₁) (x – x₂) = 0 sehingga diperoleh akar-akar persamaan itu x₁ dan x₂. Dengan demikian jika akar-akar

persamaan kuadrat x₁ dan x₂ maka persamaannya adalah (x – x₁) (x – x₂) = 0.

Contoh 1:

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan -2.

Jawab: (x – x₁) (x – x₂) = 0

(x – 3) (x – (-2)) = 0

(x – 3) (x + 2) = 0

x² – 3 x + 2 x – 6 = 0

x² – x – 6 = 0.

Contoh 2:

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan !

Jawab: (x – ) (x – ) = 0

= 0

6 x² – 2 x – 3 x + 1 = 0

6 x² – 5 x + 1 = 0

b. Menyusun persamaan kuadrat menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akar

Persamaan .

Dengan menggunakan x₁ + x₂ = – dan x₁ x₂ = , maka akan diperoleh persamaan:

x² – (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0.

Contoh:

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya –2 dan –3.

Jawab: x₁ + x₂ = -2 – 3 = – 5

x₁ x₂ = 6

Jadi, persamaan kuadratnya x² – (–5)x + 6 = 0 atau x² + 5x + 6 = 0.

c. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya berkaitan dengan akar-akar persamaan kuadrat lain

Seringkali kita mendapatkan suatu persamaan kuadrat yang akar-akarnya berhubungan dengan akar-akar persamaan yang lain.

Contoh 1:

Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 lebih dari akar-akar persamaan x² – 2x + 3 = 0.

Jawab:

Misal akar-akar persamaan x² – 2x + 3 = 0 adalah x₁ dan x₂. ® x₁ + x₂ = 2 , x₁ x₂ = 3.

Jika akar-akar persamaan kuadrat baru adalah p dan q, maka p = x₁ + 3 dan q = x₂ +3

p + q = (x₁ + 3) + (x₂ + 3) p q = (x₁ + 3) (x₂ + 3)

= x₁ + x₂ + 6 = x₁ x₂ + 3(x₁ + x₂) + 9

= 2 + 6 = 8 = 3 + 2(2) = 9 = 18

Persamaan kuadrat yang akar-akarnya p dan q adalah x² – (p + q) + pq = 0.

Persamaan kuadrat baru adalah x² – 8x + 18 = 0.

Contoh 2:

Susunlah persamaan kuadrat baru yang akarnya 2 kali akar persamaan 2x² – 3x + 1 = 0.

Jawab:

Misalkan akar-akar persamaan 2x² – 3x + 1 = 0 adalah x₁ dan x₂ serta persamaan kuadrat baru adalah a dan b, maka a = 2x₁ dan b = 2x₂

a + b = 2(x₁ + x₂) = 2

a b = 2x₁ . 2x₂ = 4x₁ x₂ = 4 . = 2

Persamaan kuadrat yang akarnya a dan b adalah:

x² – (a + b)x + ab = 0.

Persamaan kuadrat baru adalah x² – 3x + 2 = 0..

Latihan 4

Susunlah persamaan kuadrat yang akar-akarnya:
Jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan kuadrat berturut-turut adalah dan . Tentukan persamaan kuadratnya!
Akar-akar persamaan kuadrat x² – 4x – 6 = 0 adalah a dan b. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:
Akar-akar persamaan kuadrat 3x² + 2x + 1 = 0 adalah a dan b. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:
Diketahui persamaan 2x² – 5x + 3 = 0. Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya:

1 dan 3
2 dan -4
-1 dan -5
–Ö2 dan 2Ö2
(p + q) dan (p – q)

(a + 1) dan (b + 1)
(a– 3) dan (b– 3)

4a dan 4b
–a dan –b
(2a + 1) dan (2b + 1)
a² dan b²

berlawanan dengan akar-akar persamaan yang diketahui.
kebalikan akar persamaan yang diketahui.

B. Fungsi Kuadrat

1. Pengertian

Fungsi f pada R yang ditentukan oleh: f(x) = ax² + bx + c dengan a, b, dan c bilangan real dan disebut fungsi kuadrat.

Jika f(x) = 0 maka diperoleh persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0. Nilai-nilai x yang memenuhi persamaan itu disebut nilai pembuat nol fungsi f.

Nilai fungsi f untuk x = p ditulis f(p) = ap² + bp + c.

Contoh 1:

Ditentukan: f(x) = x² – 6x – 7

Ditanyakan:

nilai pembuat nol fungsi f
nilai f untuk x = 0 , x = –2

Jawab:

Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f(x) = 0

x² – 6 x – 7 = 0

(x – 7) (x + 1) = 0

x = 7 atau x = –1

Jadi pembuat nol fungsi f adalah 7 dan –1

Untuk x = 0 maka f(0) = –7

x = –2 maka f(–2) = (–2)² – 6 (–2) – 7 = 9

Contoh 2:

Tentukan nilai p agar ruas kanan f(x) = 3 x² + (p – 1) + 3 merupakan bentuk kuadrat sempurna.

Jawab :

Supaya merupakan suatu kuadrat sempurna, syaratnya D = 0.

D = (p – 1)² – 4 . 3 . 3 = 0

p² – 2p – 35 = 0

(p – 7) (p + 5) = 0

p = 7 atau p = –5

Jadi, agar ruas kanan f(x) merupakan suatu kuadrat sempurna, maka p = 7 atau p = –5.

Periksalah jawaban itu.

2. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Kuadrat

Untuk menentukan nilai maksimum/minimum fungsi kuadrat, perhatikan uraian berikut:

1) f(x) = x² – 2x – 3

= x² – 2x + 1 – 4

=(x – 1)² – 4

Bentuk kuadrat selalu bernilai positif atau nol, maka (x – 1)² mempunyai nilai paling kecil (minimum) nol untuk x = 1. Dengan demikian (x – 1)² – 4mempunyai nilai terkecil 0 – 4 = –4.

Jadi, f(x) = x² – 2x – 3 mempunyai nilai terkecil (minimum) –4 untuk x = 1.

2) f(x) = –x² + 4x + 5

= –x² + 4x – 4 + 9

= –(x² – 4x + 4) + 9

= –(x – 2)² + 9

Nilai terbesar dari – (x – 2)² sama dengan nol untul x = 2.

Dengan demikan nilai terbesar dari – (x – 2)² + 9 adalah 0 + 9 = 9.

Jadi, f(x) = –(x – 2)² + 9 atau f(x) = –x² + 4x + 5 mempunyai nilai terbesar (maksimum) 9 untuk x = 2.

Sekarang perhatikan bentuk umum f(x) = ax² + bx + c

Dengan uraian di atas, diperoleh:

Fungsi kuadrat f(x) = a x² + b x + c

Untuk a > 0, f mempunyai nilai minimum untuk

Untuk a < 0, f mempunyai nilai maksimum untuk

Contoh:

Tentukan nilai minimum fungsi f(x) = 2x² + 4x + 7

Jawab:

f(x) = 2x² + 4x + 7 , a = 2 , b = 4 , c = 7

Nilai minimum fungsi f = 5

Latihan 5

Diketahui: f(x) = x² – 4x – 6

Ditanya: a. nilai pembuat nol fungsi

b. nilai f(x) , jika x = 0

c. f(2) , f(–1) , f(p)

Tentukan nilai minimum atau maksimum dari fungsi berikut ini:
Fungsi kuadrat f(x) = 2x² – px + 3 mempunyai nilai minimum untuk x = 2. Hitunglah nilai minimum itu!
Nilai maksimum f(x) = ax² + 4x + a adalah 3. Hitunglah nilai a !
Selisih dua bilangan positif adalah 3. Tentukan kedua bilangan itu agar hasilkalinya minimum!
Suatu fungsi kuadrat mempunyai nilai minimum –2 untuk x = 3, dan mempunyai nilai 6 untuk x = 1. Tentukan fungsi kuadrat tersebut!

f(x) = x² + 4x + 4
f(x) = 2x² – 4x + 3
f(x) = –3 x² + 12x – 8
f(x) = –7 + 12x – 3x²
f(x) = (2x + 1) (x =- 3)
f(x) = (2x – 1)²

3. Grafik Fungsi Kuadrat

Grafik fungsi kuadrat f : x ® y = a x² + b x + c grafiknya berbentuk parabola.

Gambar 7.1 Gambar 7.2

Perhatikan Gambar 7.1 dan 7.2

Titik A dan titik B adalah titik potong dengan sumbu-X.
Titik C merupakan titik potong grafik dengan sumbu-Y.
Titik P merupakan titik balik/puncak parabola.
Garis yang melalui puncak dan sejajar dengan sumbu-Y disebut sumbu simetri.

Cara melukis grafik fungsi kuadrat dengan menentukan:

1) Titik potong grafik dengan sumbu-X.

Titik potong itu terletak pada sumbu-X sehingga absis titik tersebut diperoleh jika y = 0, maka

a x² + b x + c = 0. Karena a x² + b x + c = 0 merupakan persamaan kuadrat, maka banyaknya titik potong dengan sumbu-X tergantung pada D(diskriminan).

D > 0 ® terdapat dua titik potong yang berlainan, yaitu (x₁ , 0) dan (x₂ , 0).

D = 0 ® terdapat satu titik potong yang disebut titik singgung.

D < 0 ® tidak mempunyai titik potong dengan sumbu-X.

2) Titik potong dengan sumbu-Y.

Karena titik potong terletak pada sumbu-Y, maka ordinat titik potong itu diperoleh jika x = 0. Sehingga koordinatnya (0 , c).

3) Sumbu simetri

Karena sumbu simetri adalah garis yang melalui titik puncak dan sejajar sumbu-Y maka persamaan sumbu simetri adalah:

4) Titik Puncak/ Balik

Koordinat titik puncak

Catatan:

Grafik fungsi kuadrat dengan persamaan y = a x² + b x + c berbentuk parabola.
Parabola terbuka ke atas jika a > 0.
Parabola terbuka ke bawah jika a < 0.

Contoh:

Buatlah sketsa grafik y = x² – 2x – 3 untuk x e R.

Jawab:

Titik potong dengan sumbu-X diperoleh jika y = 0.

x² – 2x – 3 = 0

(x – 3) (x + 1) = 0

x = 3 dan x = –1

Koordinat titik potongnya adalah : A(3 , 0) dan B(–1 , 0)

Titik potong dengan sumbu-Y diperoleh jika x = 0

y = 0 – 0 – 3 = – 3

Koordinat titik potongnya C(0 , –3)

Sumbu simetri, garis

Titik puncak ® D(1 , –4)

Hubungkan titik-titik A, B, C, dan D serta perhalus, sehingga diperoleh grafik fungsi

y = x³ – 2x – 3.

Latihan 6

Tentukan koordinat titik potong grafik fungsi kuadrat berikut ini, dengan sumbu koordinat:

y = x² – 4x – 5 c. y = -2x² + 5x – 3
y = x² + 4x + 4 d. y = 2x² – 5x + 4

Tentukan koordinat titik puncak/balik grafik fungsi pada soal no. 1 di atas!

Grafik fungsi kuadrat y = 2x² – px + 3 mempunyai sumbu simetri garis x = 2. Tentukan koordinat titik puncak !

Gambarlah sketsa grafik fungsi kuadrat berikut ini dengan langkah-langkah:

y = x² – 6x + 8 d. y = x² – 2
y = (x – 5)²e. y = –x² + 3
y = 16 – x² f. y = x² + 2x + 2

4. Menentukan Fungsi Kuadrat yang Grafiknya Memenuhi Syarat-syarat Tertentu

Suatu fungsi kuadrat dapat ditentukan apabila fungsi itu:

melalui tiga titik yang berlainan.
memotong sumbu-X dan melalui sebuah titik lain.
melalui sebuah titik dan koordinat titik terendah/tertinggi diketahui.
menyinggung sumbu-X dan melalui sebuah titik.

a. Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui tiga buah titik

Contoh:

Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik (–1 , 0) , ( 1 , 8 ) dan ( 2, 6 ).

Jawab :

Misal persamaan grafik adalah y = a x² + b x + c

Grafik melalui titik (–1 , 0) ® 0 = a(–1)² + b (–1) + c

0 = a – b + c ………………. (1)

Grafik melalui titik (1 , 8) ® 8 =a (1)² + b (1) + c

8 = a + b + c ………………. (2)

Grafik melalui titik ( 2 , 6 ) ® 6 = a (2)² + b (2) + c

6 = 4 a + 2 b + c …………… (3)

Dari persamaan (1), (2), dan (3) dapat ditentukan nilai a, b, dan c dengan cara eliminasi.

(1) a – b + c = 0 (2) a + b + c = 8 a – b + c = 0

(2) a + b + c = 8 (3) 4a + 2b + c = 6 –2 – 4 + c = 0

–2b = –8 3a – b = 2 c = 6

b = 4 – 3a – 4 = 2

a = –2

Jadi, fungsi kuadrat itu adalah y = –2x² + 4x + 6.

b. Fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X

Misalkan titik potongnya (p , 0) dan (q , 0).

(p , 0) dan (q , 0) memenuhi persamaan y = a x² + b x + c sehingga 0= ap² + bp + c dan

0= aq² + bq + c . Kedua persamaan itu dikurangkan, akan diperoleh:

0 = a(p² – q²) + b(p – q)

b(p – q) = –a(p² – q²)

= –a(p + q) (p – q)

b = – a(p + q)

Substitusikan b = – a(p + q) ke ap² + bp + c = 0

ap² + (– a(p + q)) p + c = 0

ap² – ap² – pqa + c = 0

c = pqa

Untuk b = – a(p + q) dan c = pqa maka

y = a x² + b x + c Û y = ax² – a(p + q)x + pqa

= a(x² – (p + q)x + pq)

= a(x – p) (x – q)

Jadi, y = a(x – p) (x – q) adalah fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di (p,0) dan (q,0).

Contoh:

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik (–5,0) dan (1,0), serta melalui titik (–3, –8) !

Jawab:

Grafik memotong sumbu-X di titik (–5,0) dan (1,0), maka fungsi kuadratnya

y = a(x – (–5)) (x – 1)

= a(x + 5) (x – 1)

Grafik melalui titik (–3, –8), berarti

–8 = a(–3+5) (–3 – 1)

= –8a

a = 1

Substitusikan a = 1 pada y = a(x + 5) (x – 1) sehingga diperoleh y = x² + 4x – 5.

Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = x² + 4x – 5.

c. Menentukan fungsi kuadrat jika koordinat titik puncak grafik fungsi itu diketahui

Koordinat titik tertinggi/ terendah grafik fungsi kuadrat y = ax² + bx + c adalah .

Dengan melihat kembali kajian terdahulu, maka fungsi kuadrat y = ax² + bx + c dapat

dinyatakan dengan .

Sehingga fungsi kuadrat yang berpuncak di (p , q) adalah y = a (x – p)² + q

Contoh:

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik tertinggi (1,3) dan melalui titik (0,0).

Jawab:

Fungsi kuadrat yang grafiknya berpuncak di (1,3) adalah y = (x – 1)² + 3

Grafik melalui titik (0,0) berarti:

0 = a(0 – 1) + 3

0 = a + 3

a = –3

Substitusikan a = –3 pada y = a (x – 1)² + 3 maka diperoleh

y = –3 (x – 1)² + 3

y = –3 (x² – 2x + 1) + 3

y = –3x² + 6x

Jadi, fungsi kuadratnya adalah y = –3x² + 6x.

d. Fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X

Perhatikan kembali bahasan tentang “Titik potong grafik dengan sumbu-X”. Grafik akan menyinggung sumbu-X jika dan hanya jika b² – 4ac = 0, maka koordinat titik tertinggi atau terendah adalah (,0).

Sehingga .

Jadi, fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X adalah .

Sehingga fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X adalah y = a(x – p)²

Contoh:

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X di titik (2,0) dan melalui titik (0,4) !

Jawab:

Fungsi kwadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X di (2,0) adalah

y = a (x – 2)²

Grafik melalui titik (0,4) berarti :

4 = a(0 – 2)² = 4a

a = 1

Jadi, fungsi kuadrat itu y = 1(x – 2)² atau y = x² – 4x + 4.

Latihan 7

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (–2, 12), (1, –3), dan (5, 5) !

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya melalui titik (3, –2), (5, 4), dan (1,-1 !

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik (2, 0), dan (4, 0) serta melalui titik (0, 2) !

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik (4, 0) dan (1, 0) serta melalui titik (2, –2)

Koordinat titik puncak grafik fungsi kuadrat adalah (–1, 1). Tentukan fungsi kuadrat itu jika grafiknya melalui titik (0, 1) !

Koordinat titik puncak grafik fungsi y = ax² + bx + 5 adalah (4, 9). Tentukan fungsi kuadratnya!

Suatu parabola menyinggung sumbu-X di titik (–2, 0) dan melalui titik (0, –1). Tentukan persamaan parabola!

Sebuah fungsi kuadrat mempunyai nilai tertinggi –3 untuk x = 2, sedangkan grafiknya melalui titik

(–2, –11). Tentukan fungsi kuadratnya!

Suatu fungsi kuadrat, grafiknya memotong sumbu-X di titik (2, 0) dan (5, 0), sedang fungsi itu mempunyai nilai maksimum 9. Tentukan fungsi kuadrat tersebut!

Grafik fungsi y = (p+3)² – 2(p – 1)x + (2p – 5) mempunyai titik puncak yang absisnya p. Tentukan fungsi kuadrat itu!

C. Pertidaksamaan

Pertidaksamaan Linear

Berdasarkan penyelesaiannya, pertidaksamaan linear terbagi menjadi :

Pertidaksamaan biasa, yaitu pertidaksamaan yang memiliki himpunan penyelesaian.

Contoh : 2 x + 3 < 5

Pertidaksamaan identik, yaitu pertidaksamaan yang berlaku untuk semua nilai peubah.

Contoh : x + 5 < 2x + 10

Pertidaksamaan palsu, yaitu pertidaksamaan yang tidak mempunyai himpunan penyelesaian.

Contoh x + 8 < x + 4

Contoh 1 :

Tentukan nilai x yang memenuhi 2 x + 4 > x + 3 !

Jawab :

2 x + 4 > x + 3

2 x – x > 3 – 4

x > – 4

Contoh 2 :

Selesaikanlah 3 x + 5 < 5 x + 7 !

Jawab :

3 x + 5 < 5 x + 7

3 x – 5 x < 7 – 5

- 2 x < 2

x > –1 (Catatan : ruas kiri dan kanan dibagi dengan bilangan negatif,

tanda pertidaksamaan berubah)

Latihan 8

Tentukan nilai-nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut :

4 x > 12 6. 2 x + 1 £ 5 x – 4
– 2 x < 7 7. – 8 x + 2 ³ 5 x – 10
4 + 3 x ³ – 8 8.
9 – 3 x £ 6 9.
2 x + 3 £ x + 4 10.

Tentukan nilai-nilai x dengan kemungkinan-kemungkinannya !

p x – p < 0 13. p x + q x < p + q
a x £ a³ 14. a x + 1 > x + a

Tentukan nilai x yang memenuhi:

Pertidaksamaan Kuadrat

Dalam menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat dilakukan langkah-langkah berikut :

Jadikan ruas kanan nol.
Uraikan ruas kiri atas faktor linear
Tentukan nilai pembuat nol ruas kiri
Buat garis bilangan dan tempatkan nilai pembuat nol ruas kiri pada garis bilangan
Tentukan tanda-tanda ruas kiri pada garis bilangan.
Tentukan penyelesaian pertidaksamaan.

Contoh 1 :

Selesaikan x² – 2x – 8 ³ 0 !

Jawab :

x² – 2 x – 8 ³ 0

(x – 4 ) (x + 2) ³ 0

Garis bilangan :

+ + + + + | – - – - – - | + + + +

–2 4

Nilai x yang memenuhi :

x £ –2 atau x ³ 4

Contoh 2 :

Selesaikan 3 x² + 2 x < 3 – 6 x !

Jawab :

3 x² + 2 x < 3 – 6 x

3 x² + 2 x + 6 x – 3 < 0

3 x² + 8 x – 3 < 0

(3 x – 1) (x + 3) < 0

Nilai pembuat nol : 3x – 1 = 0 dan x + 3 = 0

3x = 1 x = –3

x =

Garis bilangan

+ + + + | – - – - – - – - – | + + + + +

o o

–3

Karena permintaan adalah negatif, maka nilai x yang memenuhi adalah –3 < x <

Latihan 9

Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan berikut :

x² + x – 2 < 0 6. 15 – 7 x £ 2 x²
x² – 16 < 0 7. 4 x² – 2 x ³ 3 + 3 x – 4 x²
9 – x² > 0 8. 5 x² + 15 x £ 2 (x + 3)
x² – x < 3 x 9. 3 – 2 x £ 9 x – 6 x²
2 x – x² ³ 0 10. 2 x² – 3 x – 5 ³ 0

Pemakaian Diskriminan Persamaan Kuadrat

Pada sub bab terdahulu, telah dibahas diskriminan persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 yaitu D = b² – 4ac . Selain itu dibahas pula jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

Pada bagian ini akan dibahas pemakaian diskriminan yang berhubungan dengan :

jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat
tanda-tanda fungsi kuadrat
garis dan parabola

a. Hubungan diskriminan dengan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

Hubungan diskriminan dengan jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat dapat menentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat serta dapat menentukan koefisien-koefisien persamaan kuadrat yang meme-nuhi syarat tertentu.

Bagan berikut menunjukkan syarat-syarat yang harus dipebuhi oleh persamaan kuadrat

a x² + b x + c = 0 , a ¹ 0 yang akar-akarnya x₁ dan x₂ .

a x² + bx + c = 0

a ¹ 0

D < 0 D = b² – 4 a c D = 0

Akar imajiner Akar kembar

(x₁ = x₂)

x₁ = 0 , x₂ ¹ 0 x₁ = – x₂ x₁ = x₁ = + , x₂ = + x₁ = – , x₂ = – x₁ = – , x₂ = +

c = 0 berlawanan kebalikan a, c tanda sama a,b,c tanda a, c tanda

b = 0 a = c b berbeda sama berbeda

Contoh 1 :

Tentukan nilai p agar x² – 2 p x + 2p + 15 = 0 mempunyai :

akar kembar
kedua akar tandanya berlawanan

Jawab :

x² – 2 p x + 2p + 15 = 0 b. Syarat kedua akar tandanya berlawanan D > 0 ; x₁ . x₂ < 0

a = 1 , b = –2p dan c = 2p + 15 b² – 4 a c > 0 x₁ . x₂ < 0

Agar kedua akar kembar, maka D = 0 (–2 p)² – 4 . 1 . (2 p + 15) > 0 < 0

b² – 4 a c = 0 4 p² – 8 p – 60 > 0 2 p + 15 < 0

(–2 p)² – 4 . 1 . (2 p + 15) = 0 p² – 2 p – 15 > 0 2 p < –15

4 p² – 8 p – 50 = 0 (p – 5) (p + 3) > 0 p < –7

p² – 2 p – 15 = 0 + + + + – - – - – - – - - + + + + +

(p – 5) (p + 3) = 0 o o

p = 5 atau p = –3 –3 5

Jadi nilai p adalah 5 dan –3 p < –3 atau p > 5

Dari syarat (1) dan (2) diperoleh :

o o

–3 5

–7

Jadi : p < –7

Latihan 10

Tentukan nilai p agar persamaan berikut mempunyai dua akar yang sama !
1. x² + 2 p x + 4 = 0
2. x² + px + p + 3 = 0

Tentukan nilai p agar persamaan berikut mempunyai akar akar real yang berlainan !
1. x² + p x + p = 0
2. x² – (p + 3) x + 2 p + 2 = 0
3. p x² + 3 x + p = 0

Tentukan nilai p agar (4 – p) x² + 11 x + p + 6 = 0 mempunyai akar berkebalikan !

Persamaan x² + (2 m – 1) x + m² – 3 m – 4 = 0 mempunyai akar berlawanan. Tentukan nilai m !

Tentukan nilai m agar x² + 2 m x – m² + 5 m – 6 = 0 mempunyai :
1. dua akar berlawanan
2. dua akar berlawanan tanda
3. dua akar positif

b. Tanda-tanda fungsi kuadrat

Kedudukan parabola y = a x2 + b x + c terhadap sumbu-X tergantung pada nilai a dan nilai diskriminan .

Berdasarkan tanda a

a > 0 , grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik minimum (parabola terbuka ke atas).

a < 0 , grafik fungsi kuadrat mempunyai titik balik maksimum (parabola terbuka ke bawah).

Berdasarkan tanda D = b² – 4 a c

D > 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-X di dua titik yang berlainan.

D = 0 maka grafik fungsi kuadrat memotong sumbu-X di dua titik yang sama atau parabola menyinggung sumbu-X.

D < 0 maka grafik fungsi kuadrat tidak memotong sumbu-X dan juga tidak menyinggung sumbu-X.

Dengan menggabungkan tanda-tanda a dan tanda-tanda D, diperoleh kemungkinan bentuk-bentuk parabola sebagai berikut:

Dengan memperhatikan gambar-gambar di atas, diperoleh kesimpulan:

Fungsi kuadrat yang dinyatakan dengan f(x) = a x² + b x + c = 0 , a ¹ 0.

Untuk a > 0:

1) D > 0 ® dapat diuraikan menjadi :

f(x) = a (x – x₁) (x – x₂)

f(x) > 0 untuk x < x₁ dan x > x₂

f(x) < 0 untuk x₁< x < x₂

2) D = 0 ® dapat diuraikan menjadi :

f(x) = a (x – x₁)²

f(x) > 0 untuk semua nilai x kecuali untuk x = x₁ maka f(x) = 0

3) D < 0 ® tidak dapat diuraikan menjadi

f(x) selalu positif untuk setiap x , disebut definit positif.

Untuk a < 0:

1) D > 0 ® dapat diuraikan menjadi :

f(x) = a (x – x₁) (x – x₂)

f(x) < 0 untuk x < x₁ dan x > x₂

f(x) > 0 untuk x₁< x < x₂

2) D = 0 ® dapat diuraikan menjadi :

f(x) = a (x – x₁)²

f(x) > 0 untuk semua nilai x kecuali untuk x = x₁ maka f(x) = 0

3) D < 0 ® tidak dapat diuraikan menjadi :

f(x) selalu positif untuk setiap x , disebut definit negatif.

Contoh 1:

Tentukan batas-batas nilai p agar fungsi f(x) = x² – 4 x – m + 2 definit positif.

Jawab:

f(x) = x² – 4 x – m + 2

Syarat agar fungsi kuadrat definit positif adalah a > 0 dan D < 0.

a = 1 bilangan positif

D = (–4)² – 4 (1) (–m + 2) = 16 + 4 m – 8

= 4 m + 8

D < 0 « 4 m + 8 < 0

m < –2

Jadi, agar f(x) = x² – 4 x – m + 2 definit positif, maka m < –2

Contoh 2:

Tentukan fungsi kuadrat yang hanya negatif bagi – 2 < x < 2 dan grafiknya melalui titik (3, 10) !

Jawab:

Fungsi kuadrat y = f(x)

y < 0 untuk –2 < x < 2 berarti parabola terbuka ke atas.

y = a(x + 2) (x – 2), melalui titik (3, 10) berarti

10 = a(3 + 2) (3 – 2)

= 5a

a = 2

Jadi, y = 2(x + 2) (x – 2) atau y = 2x² – 8.

Latihan 11

Tentukan batas-batas x supaya fungsi berikut ini negatif!

y = x² – 7x + 10 b. y = 6x² – 5x – 6 c. y = 2x² + x – 6

Tentukan nilai x agar fungsi berikut ini positif!

y = x² – x – 2 b. y = –x² + 2x + 8 c. y = 2x² – 9x – 5

Tentukan batas-batas m supaya y = x² +6x + m positif untuk setiap nilai m !

Tentukan batas-batas nilai p supaya fungsi berikut ini definit positif !

y = x² – 2px + 3p + 4 b. y = (p + 2)x² – (2p + 1)x + (p – 2)

Tentukan nilai a supaya y = (a – 1)x² + 2ax + a tidak positif untuk setiap harga x !

Tentukan fungsi kuadrat menjadi negatif untuk –2 < x < 4 dan mempunyai minimum –6 !

Tentukan fungsi kuadrat yang hanya positif untuk –1 < x < 2 dan melalui titik (0, 2) !

Diketahui dua buah fungsi yang dinyatakan oleh f(x) = 3x² + mx + 2m² dan g(x) = x² + 2mx + m². Jika grafik f(x) selalu di atas grafik g(x), tentukan batas-batas m !

c. Persamaan Garis Singgung pada Grafik Fungsi Parabola

Antara garis lurus dan grafik fungsi kuadrat terdapat tiga hubungan, yaitu:

v garis memotong grafik

v garis menyinggung grafik

v garis tidak memotong dan tidak menyinggung grafik.

Koordinat titik potong antara garis y = mx + n dan grafik fungsi kuadrat y = ax² + bx+c diperoleh dengan mencari nilai x dan y yang memenuhi kedua persamaan tersebut.

Garis lurus ® y = mx + n …(1)

Parabola ® y = ax² + bx + c …(2)

Persamaan (1) disamakan dengan persamaan (2), maka diperoleh ax² + (b – m)x + c – n, merupakan persamaan kuadrat dalam x, sehingga terdapat kemungkinan sebagai berikut:

1) D > 0 mempunyai dua akar real berlainan yang berarti terdapat dua titik potong atau garis memotong parabola.

2) D = 0 mempunyai sebuah akar kembar, yang berarti mempunyai sebuah titik persekutuan atau garis menyinggung parabola.

3) D < 0 tidak mempunyai akar real, yang berarti garis tidak memotong parabola.

Contoh 1:

Tentukan koordinat titik potong garis y = x + 5 dengan parabola y = x² – 3x.

Jawab: y = x + 5 dan y = x² – 3x disamakan

x + 5 = x² – 3 x Untuk x = 5 maka y = 5 + 5 = 10

x² – 4 x – 5 = 0 Untuk x = –1 maka y = –1 + 5 = 4

(x – 5) (x + 1) = 0

x = 5 dan x = –1

Jadi, koordinat titik potong antara garis y = x + 1 dan parabola y = x² – 3x

adalah (5, 10) dan (–1, 4).

Contoh 2:

Tentukan nilai m, supaya garis y = x + m menyinggung parabola y = x² – 2 .

Jawab: y = x + m dan y = x² – 2 disamakan

x + m = x² – 2

x² – 2x – 2m – 2 = 0

Syarat supaya bersinggungan: D = 0.

D = (-2)² – 4 . 1 (2m – 2) = 0

4 + 8m + 4 = 0

8m = –8

m = –1

Jadi, agar garis menyinggung parabola maka m = –1.

Latihan 12

Tentukan koordinat titik potong antara garis dengan parabola berikut ini :
1. y = x + 1 dan y = x² – x – 2
2. y = 3x – 8 dan y = x² – 3x
3. y = –2x + 9 dan y = 2x² – 4x + 7
Tentukan nilai m supaya garis y = mx + 1 menyinggung parabola !
Tentukan persamaan garis yang melalui (0, -1) dan menyinggung parabola y = x² !
Ditentukan parabola dan garis y = x – 2 :
1. Tentukan koordinat titik potong antara garis dan parabola.
2. Tentukan persamaan garis singgung yang melalui titik potong itu.
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya mempunyai titik puncak (1, 2) dan menyinggung garis y = x !
Tentukan m supaya garis y = mx +2 menyinggung parabola y = mx² + x + 4 !
1. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola y = x² + 2 yang sejajar dengan garis x – 2y – 4 = 0 Tentukan pula koordinat titik singgungnya!
2. Fungsi kuadrat y = (m + 3)x² – (3m + 3)x + (m – 5) grafiknya melalui titik asal. Tentukan persamaan garis singgung pada parabola itu yang melalui titik asal !
3. Fungsi kuadrat y = x² + (m + 2) x + 2 m – 4 grafiknya selalu melalui sebuah titik yang tidak tergantung pada nilai m. Tentukanlah titik tersebut !
4. Tentukan dua buah titik tetap yang selalu dilalui fungsi kuadrat y = m x² +(3 m – 2 ) x + 2 – 3 m !

Pertidaksamaan Pangkat Tinggi

Hal-hal yang perlu diperhatikan dalam pertidaksamaan pangkat tinggi :

Jadikan ruas kanan nol.
Faktorkan ruas kiri
Bila terdapat definit positif, definit tersebut dapat dihilangkan begitu saja, tetapi bila terdapat definit negatif, definit ini bisa dihilangkan apabila tanda pertidaksamaan diubah menjadi lawan dari tanda mula-mula.
Bila hasil faktorisasi terdapat perpangkatan ganjil, maka tidak ada pengaruh apa-apa pada pertidaksamaan.
Bila hasil faktorisasi terdapat perpangkatan genap, maka pada garis bilangan akan terdapat pengulangan tanda (mengikuti tanda di sebelah kanannya)

Contoh 1 :

Tentukan nilai x yang memenuhi: (x – 1)² (x + 2)³ (x – 3) > 0 !

Jawab : (x – 1)² (x + 2)³ (x – 3) > 0

+ + + + + | – - – - – - - | – - – - - | + + + + +

–2 1 3

Jadi nilai x yang memenuhi adalah: x < – 2 atau x > 3

Contoh 2 :

Selesaikan : (2 – x)⁵ (x + 3) (x² + x + 1) > 0 !

Jawab : x² + x + 1 adalah definit positif

Sehingga pertidaksamaan itu dapat ditulis menjadi :

(2 – x)⁵ (x + 3) > 0

- – - – - – - | + + + + + | – - – - – -

–3 2

Nilai x yang memenuhi adalah : –3 < x < 2

Latihan 13

Tentukan nilai x yang memenuhi :

(x² – 3 x + 5) (x + 2) (x – 1) < 0 6. (-2 + 3 x – 4 x²) (x + 4) (x – 3) < 0
(x – 1) (x + 2) (x – 3) (x + 4) ³ 0 7. (x + 10)⁵ (x – 7)² (x + 5)² £ 0
(x + 1) (2 – x) (x + 3) £ 0 8. x⁴ – 13 x² + 36 ³ 0
(x – 5) (x +1)² (x + 3 > 0 9. x (x² – x – 2) (15 – 2x – x²) > 0
(2 – x)² (x + 3)⁵ (x – 1) < 0 10. (x² – 2 x – 3) (x² + 4 x + 3) £ 0

Pertidaksamaan Pecahan

Dalam menyelesaikan pertidaksamaan pecahan perlu diingat bahwa :

Hasil bagi dua bilangan mempunyai tanda yang sama dengan hasil kali bilangan itu.
Penyebut suatu pecahan tidak boleh sama dengan nol
Bila terdapat definit positif , definit positif dapat dihilangkan tanpa mempengaruhi pertidaksamaan, tetapi jika terdapat definit negatif, definit negatif dapat dihilangkan asalkan tanda pertidaksamaan

berubah menjadi lawan dari tanda pertidaksa-maan mula-mula

Contoh 1 :

Selesaikan !

Jawab :

+ + + + – - – - – - – - – - + + + +

o o

–2 3

Nilai x yang memenuhi : x < –2 atau x > 3

Contoh 2 :

Selesaikan !

Jawab :

+ + + + + – - – - – - – - + + + +

–3 1

Harga x yang memenuhi adalah –3 < x £ 1 (ingat penyebut tidak boleh nol)

Contoh 3 :

Tentukan nilai x yang memenuhi: !

Jawab : Penyebut merupakan definit positif, jadi dapat diabaikan

x² + 2x – 8 ³ 0

(x + 4) (x – 2) ³ 0 + + + + | – - – - – - – - | + + + +

–4 2 Nilai x yang memenuhi adalah : x £ –4 atau x ³ 2

Latihan 14

Tentukan nilai x yang memenuhi :

Pertidaksamaan Irasional

Cara penyelesaian bentuk pertidaksamaan ini adalah :

Bentuk bilangan di bawah tanda akar selalu lebih besar atau sama dengan nol
Tanda akar dapat dihilangkan dengan mengkuadratkan

Contoh 1:

Selesaikan !

Jawab : Syarat :

kuadratkan 2 x – 1 ³ 0

2 x – 1 < 9 2 x ³ 1

2 x < 10 x ³ . . . . . (2)

x < 5 . . . . . .(1)

5 Jadi : £ x < 5

Contoh 2 :

Selesaikan

Jawab :

Syarat I Syarat II

kuadratkan 2 x – 10 > 0 2 – x ³ 0

2 x – 10 > 2 – x 2 x > 10 2 ³ x

2 x + x > 2 + 10 x > 5 x £ 2

3 x > 12

x > 4 2 4 5

Jadi tidak ada nilai x yang memenuhi.

Contoh 3 :

Tentukan nilai x yang memenuhi : !

Jawab :

Syarat I Syarat II

kuadratkan x + 3 > 0 12 – 2x ³ 0

x + 3 > 12 – 2 x x > –3 12 ³ 2x

x + 2 x > 12 – 3 x £ 6

3 x > 9

x > 3 –3 3 6

Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan di atas : 3 < x £ 6.

Contoh 4 :

Selesaikan

Jawab :

Syarat :

kuadratkan x² + 2 x ³ 0

x² + 2 x < x² + 6 x + 9 x (x + 2) ³ 0

2 x – 6 x < 9 + + | – - – - – - -| + + +

–4 x < 9 –2 0

x >–2 x £ –2 atau x ³ 0 …2)

–2 –2 0

Hasil penyelesaian : –2 < x £ –2 atau x ³ 0

Latihan 15

Tentukan nilai x yang memenuhi :

< 3 6.
< 4 7. < x – 2
< 5 8. < 15 – x
9.
10.

Pertidaksamaan Nilai Mutlak.

Nilai mutlak dari bilangan a ditulis | a | dan mempunyai nilai sebagai :

| a | =

Contoh 1 :

| 70 | = 70 | – 70 | = – (– 70) = 70 | 0 | = 0

Pertidaksamaan dengan nilai mutlak dapat diselesaikan dengan mengkuadratkan

Contoh 2 :

Carilah nilai x yang memenuhi pertidaksamaan ; | x | £ a , a positif !

Jawab : | x | £ a

kuadratkan

x² £ a²

x² – a² £ 0

(x – a) (x + a) £0 + + + + – - – - – - – – + + + +

–a a

Jadi ; – a £ x £ + a

Contoh 3 :

Tentukan nilai x yang memenuhi | x | ³ a , a positif !

Jawab : | x | ³ a

kuadratkan

x² ³ a²

x² – a² ³ 0

(x – a) (x + a) > 0

(x – a) (x + a) ³ 0 + + + + – - – - – - – – + + + +

– a a

Jadi x £ – a atau x ³ a

Contoh 4 :

Selesaikan | x – 4 | < 3

Jawab ;

Cara I Cara II

| x – 4 | < 3 Dari jawaban contoh 1, diperoleh:

kuadratkan | x – 4 | < 3

(x – 4)² < 9 –3 < x – 4 < 3

x² – 8 x + 16 < 9 Jadi 1 < x < 7

x² – 8 x + 7 < 0

(x – 1) (x – 7) < 0

+ + + + o – - – - – - o + + + + +

1 7

Jadi 1 < x < 7

Contoh 5 :

Selesaikan : | x + 2 | > 5 !

Jawab :

Cara I Cara II

| x + 2 | > 5 Dari jawaban contoh 2, diperoleh

kuadratkan | x + 2 | > 5

(x + 2)² > 25 x + 2 < – 5 atau x + 2 > 5

x² + 4 x + 4 > 25 x < –7 atau x > 3

x² + 4 x – 21 > 0

(x + 7) (x – 3) > 0

+ + + + o - – - – - – o + + + + +

-7 3

Jadi x < -7 atau x > 3

Latihan 16

Selesaikan pertidaksamaan berikut :

| x | £ 4 6. | x² – 5 | £ 4
| x + 1 | > 2 7. | x² – x – 1 | £ 1
| x² – 2 | > 1 8. | 2 x² – 8 x – 1 | ³ 9
| x² – 4 x | > 0 9. £ 1
| x² – 1 | < 7 10. ³ 2
sumber.